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Gráficos tridimensionales

Curvas tridimensionales

El caso más sencillo se presenta cuando x, y y z son funciones de un parámetro t. Utilizamos el comando plot3 para dibujar la línea tridimensional.

x=sin(t)
y=cos(t)
z=0.2·t

t=0:0.1:6*pi;
x=sin(t);
y=cos(t);
z=0.2*t;
plot3(x,y,z,'b')
grid on
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')

Superficies tridimensionales

Algo más complicado es mostrar una superficie tridimensional descrita por una función de dos variables z=f(x,y)

El primer paso es crear una rejilla en el plano XY que cubra el dominio de la función y el segundo paso consiste en el cálculo del valor de z para cada uno de los puntos de la rejilla.

En la figura se muestra el conjunto de puntos del plano XY para el dominio -2≤x≤3, -1≤y≤3 con espaciado de una unidad. Los puntos de la rejilla se definen mediante dos matrices. La matriz X guarda las abscisas de los puntos y la matriz Y las ordendas de dichos puntos. La función meshgrid de MATLAB crea la matriz X y la matriz Y.

>> x=-2:2;
>> y=-3:3;
>> [X,Y]=meshgrid(x,y)
X =
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
Y =
    -3    -3    -3    -3    -3
    -2    -2    -2    -2    -2
    -1    -1    -1    -1    -1
     0     0     0     0     0
     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2
     3     3     3     3     3

Se calculan los valores de z=f(x,y) para cada unos de los puntos de la rejilla. En este caso z=x²-y²

>> Z=X.^2-Y.^2
Z =
    -5    -8    -9    -8    -5
     0    -3    -4    -3     0
     3     0    -1     0     3
     4     1     0     1     4
     3     0    -1     0     3
     0    -3    -4    -3     0
    -5    -8    -9    -8    -5

Incrementamos la resolución y dibujamos la superficie mediante la función mesh

x=-2:0.1:2;
y=-3:0.1:3;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.^2-Y.^2;
mesh(X,Y,Z);
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')

Alternativamente, podemos dibujar la misma superficie utilizando la función surf.

Vamos a dibujar la función

z=sinrr r=x2+y2−−−−−−√${\displaystyle z=\frac{\sin r}{r}r=\sqrt{x^2+y^2}}$

en el dominio el dominio -7≤x≤7, -7≤y≤7 con espaciado de 0.25. Evitamos a indeterminación 0/0 en el origen sumando eps a r.

El color de cada elemento de superficie está determinado por el valor de z y el mapa de colores (una lista ordenda de colores)

[x,y] = meshgrid(-7:0.25:7);
r = sqrt(x.^2 + y.^2) + eps;
z = sin(r)./r;
surf(x,y,z)
colormap hsv
colorbar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')

Superficies definidas de forma paramétrica

Coordenadas esféricas

x=r·cosφ·sinθ
y=r·sinφ·sinθ
z=r·cosθ

donde 0≤r≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π/2

La superficie cónica se define para un valor θ fijo

theta=pi/3;
r=linspace(0,1,30);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
mesh(x,y,z)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie cónica')

Dibujamos una superficie esférica, y sobre ella el punto P de coordenadas φ y θ

%esfera
R=1;
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
x=R*sin(phi).*cos(theta);
y=R*sin(phi).*sin(theta);
z=R*cos(phi);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6]);
%probar una superficie esférica semitransparente
%set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5) 

%paralelo
theta=pi/3;
phi=0:0.1:2*pi+0.1;
x=sin(theta)*cos(phi);
y=sin(theta)*sin(phi);
z=cos(theta)*ones(1,length(x));
h1=line(x,y,z);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
%meridiano de referencia
phi=0;
theta=-pi:0.1:pi;
x=sin(theta)*cos(phi);
y=sin(theta)*sin(phi);
z=cos(theta);
h1=line(x,y,z);
set(h1,'Color',[0,0,.7],'LineWidth',1)
%meridiano
phi=-pi/6;
theta=-pi:0.1:pi;
x=sin(theta)*cos(phi);
y=sin(theta)*sin(phi);
z=cos(theta);
h1=line(x,y,z);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)

axis equal
view(60,10)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie esférica')

Secciones cónicas

Las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola) es el resultado de la intersección de una superficie cónica y un plano

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano horizontal
[x,y]=meshgrid(-1:0.2:1);
z=0.5*ones(size(x));
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(120,40)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano vertical
[y,z]=meshgrid(-1:0.2:1);
x=0.3*ones(size(y));
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(25,10)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

Probar el siguiente código para obtener una elipse

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano inclinado
[x,y]=meshgrid(-1:0.2:1);
z=0.5*y+0.35; % probar, z=y+0.35; 
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(25,40)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

Ejemplos

1.-Tiro parabólico 3D

Se dispara un proyectil con velocidad de 60 m/s haciendo un ángulo de 30°, desde la ventana del vagón de un tren en movimiento a lo largo del eje X con velocidad de 20 m/s. Tómese g=10 m/s²

• Calcular la altura máxima y las coordendas (x,y) del punto de impacto.
• Representar la trayectoria del proyectil

Ecuaciones del movimiento

⎧⎩⎨⎪⎪ax=0ay=0az=−10 ⎧⎩⎨⎪⎪vx=20vy=303–√vz=30−10⋅t ⎧⎩⎨⎪⎪x=20ty=303–√⋅tz=30⋅t−5⋅t2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=0\\ a_z=-10\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=20\\ v_y=30\sqrt{3}\\ v_z=30-10·t\end{array}\{\begin{array}{l}x=20t\\ y=30\sqrt{3}·t\\ z=30·t-5·t^2\end{array}}$

El proyectil alcanza la máxima altura cuando v_z=0, en el instante t=3 s, la altura es de z_max=45 m.

El proyectil impacta contra el suelo cuando z=0, en el instante t=6 s. En este instante las coordenadas del punto de impacto son: x=120 m, y=311.8 m

t=linspace(0,6,50);
z=30*t-5*t.^2;
y=30*sqrt(3)*t;
x=20*t;
plot3(x,y,z)
grid on
axis([0 150 0 350 0 50])
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)')

Utilizar la herramienta Rotate 3D del menú Figure Window para cambiar el ángulo de visualización de la parábola.

2.-Dibujar al función

z=xy2x2+y2−1≤x≤3 1≤y≤4${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}\\ -1\le x\le 31\le y\le 4\end{array}}$

x=-1:0.1:3;
y=1:0.1:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=(X.*Y.^2)./(X.^2+Y.^2);
mesh(X,Y,Z);
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')

3.- Dibujar la función

z=rθ0≤θ≤360 0≤r≤2${\displaystyle \begin{array}{l}z=r\theta \\ 0\le \theta \le 3600\le r\le 2\end{array}}$

Utilizar la función pol2cart para convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

r=0:0.1:2;
angulo=(0:5:360)*pi/180;
[Ang,Radio]=meshgrid(angulo,r);
Z=Radio.*Ang;
[X,Y] = pol2cart(Ang,Radio);
mesh(X,Y,Z)

  Homotecia

La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Propiedades

Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

El centro de la Homotecia es invariante, y las rectas que pasan por el centro de la Homotecia también lo son, aunque no lo son por puntos (los puntos no son dobles).

En una Homotecia pueden darse los siguientes casos:

Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa, y en ella los puntos homotéticos es-tán ambos al mismo lado del centro de la Homotecia.

Si la constante k es menor que 0, la Homotecia se denomina inversa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro de la Homotecia.

Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina Función Identidad.

Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central (ver capítulo 2.4 de este libro).

Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Dos rectas homotéticas siempre son paralelas, y la razón de longitud de dos segmentos homotéticos es igual a la razón de la homotecia (k).

La Homotecia es una transformación plana reversible, esto es, si aplicamos una homotecia a una figura y después aplicamos una segunda homotecia de igual centro y con igual razón pero de diferente signo, obtenemos la figura original.

Una Homotecia de centro impropio (en el infinito) es una Traslación (ver el capítulo 2.2 de este libro).

Homotecia de circunferencias

La homotética de una circunferencia es otra circunferencia cuyo centro es el homotético del centro de la primera, y cuyos puntos son homotéticos uno a uno.

Dadas dos circunferencias cualesquiera, siempre existen dos Homotecias que las relacionan, una de ellas directa y otra inversa. En cualquiera de los dos casos, el centro de la Homotecia está alineado con los dos centros de las circunferencias (en las figuras se muestran las homotecias directa e inversa que relacionan dos circunferencias).

Producto de dos Homotecias

El producto de dos homotecias es otra homotecia, cuyo centro está alineado con los centros de las dos transformaciones originales (aunque esta homotecia final puede resultar de centro impropio, convirtiéndose en una traslación) y cuya razón es el producto de las dos razones.

Rotación.

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

visite el siguiente link para mas información.

https://definicion.de/rotacion/

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Simetría Axial

La simetr�a axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una l�nea que se conoce con el nombre de eje de simetr�a.

Ejemplo:

Puede observarse que en la imagen no se conserva la orientaci�n (la derecha se convierte en izquierda y la izquierda en derecha).

En la simetr�a axial se da el mismo fen�meno que en una imagen reflejada en el espejo.

Ejemplo:

A los puntos que pertenecen a la figura sim�trica se les llama puntos hom�logos, es decir, A' es hom�logo de A, B' es hom�logo de B, y C' es hom�logo de C.

Adem�s, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura sim�trica. En este caso:

La simetr�a axial se puede dar tambi�n en un objeto con respecto de uno o m�s ejes de simetr�a.

Ejemplo:

Si se doblara la figura sobre el eje de simetr�a trazado, se podr�a observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

Simetría Central.

Corresponde a la sesi�n de GA 2.16 TODO DE CABEZA

La simetr�a central se da con respecto de un punto llamado centro de rotaci�n o punto medio, y consiste en una rotaci�n de 180�.

Para trazar una figura sim�trica a otra con respecto de un punto, se realizan los siguientes pasos:

1. Dada una figura se marca arbitrariamente el punto O.

2. Se trazan segmentos de recta a partir de cada v�rtice de la figura y se hacen pasar por O.

3. Se miden con el comp�s las distancias del punto O a los puntos de la figura y se trasladan sobre los segmentos de recta, obteniendo as� la imagen de cada punto. Despu�s se unen y se obtiene la rotaci�n de la figura inicial.
Las medidas de los segmentos OA, OB, OC, OD, OE y OF son respectivamente iguales a las medidas de los segmentos OA', OB', OC', OD', OE' y OF'.
Tambi�n se puede observar que la medida de los �ngulos de la primera figura es la misma que la de los �ngulos de su sim�trica.

Es todo estimado, espero que la información sea lo mas eficaz posible.
escriban sus comentarios por favor.

saludos.